Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:
Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu.Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
.PNG) |
| Teorema Pitagoras mempunyai lebih dari 370 pembuktian kebenarannya |
Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya. Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a'+ b' = c'
Dalil Pythagoras
1. PEMBUKTIAN DALIL PYTHAGORAS
Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku Dalil Pythagoras , yaitu :
 |
c2 = a2 + b2
atau
Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus
Pembuktian Dalil Pythagoras ada 3 cara, yaitu :Cara 1 :
ABCD adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya ( a + b ), sedangkan EFGH adalah sebuah persegi dengan panjang sisi c.
| Luas persegi EFGH | = | Luas persegi ABCD - Luas diarsir | |||
c2 | = | Luas persegi ABCD - 4 Luas segitiga | |||
c2 | = |  | |||
c2 | = | a2 + 2ab + b2 - ( 2ab ) | |||
c2 | = | a2 + 2ab + b2 - 2ab | |||
c2 | = | a2 + b2 |
Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s2
| Luas segitiga | = |  |
| ( a + b )2 | = | a2 + 2ab + b2 |
Cara 2 :
Perhatikan gambar di atas !
Persegi ABCD (gbr 1) kongruen dengan persegi KLMN (gbr 2), dengan panjng sisi (a+b). Luas empat buah segitga yang diarsir pada persegi ABCD = luas empat buah segitiga yang diarsir pada persegi KLMN, maka luas daerah yang tidak diarsir pada persegi ABCD = luas daerah yang tidak diarsir pada persegi KLMN.
Kesimpulan :
c2 = a2 + b2
Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s2
Luas persegi = sisi x sisi = s2
| Luas segitiga | = | |
| ( a + b )2 | = | a2 + 2ab + b2 |
Perhatikan gambar di atas !
Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2
Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b
| 25 satuan luas | = | 9 satuan luas | + | 16 satuan luas |
| 25 satuan luas | = | 25 satuan luas |
Kesimpulan :
c2 = a2 + b2
Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s2
CONTOH 1 :
Sebuah segitiga ABC siku-siku di titik A. Panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm.
Hitunglah panjang BC !
CONTOH 2 :
PENYELESAIAN
CONTOH :
CONTOH :
PENYELESAIAN :
Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui
Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku
|
1. | Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus : c2 = a2 + b2 |
2. | Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus : a2 = c2 - b2 |
3. | Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus : b2 = c2 - a2 |
CONTOH 1 :
Sebuah segitiga ABC siku-siku di titik A. Panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm.
Hitunglah panjang BC !
CONTOH 2 :
 | Pada gambar di samping, diketahui a = 10 dan c = 6 cm. Hitunglah nilai b ! |
Tripel Pytagoras
Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :
| c2 | = | a2+b2 | atau |
| b2 | = | c2-a2 | atau |
| a2 | = | c2-b2 |
CONTOH :
Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?
a. 9, 12, 15
b. 13, 14, 15
c. 5, 12, 13
PENYELESAIAN
a. | Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 12 dan b = 9 152 = 122 + 92 225 = 144 + 81 225 = 225 Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras |
b. | Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 13 dan b = 14 152 ¹ 132 + 142 225 ¹ 169 + 196 225 ¹ 365 Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras |
c. | Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 5 132 = 122 + 52 169 = 144 +25 169 = 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras |
Jenis Segitiga
Hubungan nilai c2 dengan ( a2 + b2 ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan :
 | c2 > a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul |
| c2 = a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku | |
| c2 < a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip |
CONTOH :
Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya :
a. 6, 8, 10
b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4
c. 11, 12, 14
a. | Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102 = 62 + 82 100 = 36 + 64 100 = 100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku |
b. | Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42 > 0,22 + 0,32 0,16 > 0,04 + 0,09 0,16 > 0,13 Jenis segitiga adalah segitiga tumpul |
c. | Untuk sisi segitiga 11, 12, 14 142 < 112 + 122 196 < 121 + 144 196 < 265 Jenis segitiga adalah segitiga lancip |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar