Logika matematika adalah terjemahan dari symbolic logic. Bahasa yang bernilai benar atau salah yang konsisten. Benar secara kenyataan atau benar secara aturan yang disepakati. Komponen bahasa adalah kalimat, namun tak semua kalimat terpakai dalam logika. Kalimat deklaratif yang bernilai benar atau salah namun tak sekaligus benar dan salah.
Perhatikan beberapa pengertian kalimat berikut:
Kalimat tak deklaratif adalah kalimat yang tidak mengungkapkan berita,
contohnya:
“Siapakah Presiden Indonesia yang memerintahkan ganyang Malaysia?” atau
“Keluarkan semua kemampuanmu!”
Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mengungkapkan berita, contohnya:
“Seorang Presiden Indonesia pernah memerintahkan ganyang Malaysia” atau
“Setiap mahluk mempunyai kemampuan”
Sedangkan kalimat deklaratif terbagi menjadi dua, yaitu:
Kalimat terbuka yaitu kalimat yang mengandung variabel yang belum pasti benar
atau salah. Jika variabel tersebut diganti konstanta dengan semesta yang sesuai
kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja yang
disebut Kalimat tertutup. Sedangkan variabel adalah simbol yang menunjukkan
suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah
simbol yang menunjukkan anggota tertentu dakan semesta pembicaraan. Perhatikan
contoh berikut:
Kalimat terbuka:
“Orang itu seorang petinju”
Kalimat tertutup
”Mike Tyson seorang petinju”
Yang bernilai benar.
Orang itu merupakan variabel, sedangkan Mike Tyson merupakan konstanta.
Kalimat terbuka : “4x + 10 = 25”
Kalimat tertutup : “4(5) + 10 = 25”
x merupakan variabel, sedangkan 5 merupakan konstanta.
Selanjutnya kalimat tertutup kita namakan pernyataan (statment). Ragam
pernyataan adalah sebagai berikut:
Pernyataan sederhana adalah pernyataan yang hanya menyatakan pikiran tunggal dan tak mengandung kata hubung, yang disebut juga pernyataan primer atau peryataan atom.
Pernyataan majemuk adalah racikan dari beberapa pernyataan sederhana dengan menggunakan kata hubung.
Contoh:
Sederhana : “2 + 4 = 7”
Majemuk : “3 – 4 = 2 dan 6 + 4 = 10”
Sederhana : “dua adalah bilangan prima”
Majemuk : “hari hujan dan jalanan basah”
B. Operasi dalam Logika
Ilmu logika matematika menjadi tak menarik jika hanya mengurusi pernyataan-pernyataan sederhana saja. Justru sangat menarik jika pernyataan-pernyataan sederhana ini dihubung-hubungkan dengan menggunakan kata hubung sehingga menjadi pernyataan majemuk. Penghubung ini melahirkan apa yang disebut dengan operasi dalam logika matematik yang terdiri atas dua jenis operasi, yaitu:
I. Operasi Uner
Operasi yang memerlukan paling sedikit pernyataan. Operasi ini hanya terdiri atas satu operasi yaitu :
Negasi (Ingkaran) yang dilambangkan (~) atau (¬) atau (-) dan dibaca tidak atau bukan
Definisi : penyangkalan p ialah benar bila p merupakan pernyataan yang salah,
dan sebaliknya penyangkalan p itu salah bila p merupakan pernyataan benar.
Contoh :
p : Indonesia adalah negara republik.
~p : Indonesia adalah bukan negara republik.
q : Hari ini matahari bersinar terang.
~q : Hari ini matahari tidak bersinar terang.
r : Surabaya bukan ibukota Jawa Timur
~r : Surabaya ibukota Jawa Timur
II. Operasi Biner : operasi yang memerlukan paling tidak dua pernyataan atau lebih.
Operasi ini terdiri atas empat operasi yaitu :
a. Konjungsi
Simbol ∧ dibaca dan.
Untuk menentukan nilai kebenarannya digunakan definisi berikut :
Definisi :
Nilai kebenaran p∧q ( baca: p konjungsi q) adalah benar jika nilai kebenaran p dan q masing-masing benar, jika dinyatakan lain maka nilai kebenarannya salah.
b. Disjungsi
Simbol ∨ dibaca atau.
Untuk menentukkan nilai kebenarannya digunakan kaidah salah satu benar pasti
benarmelalui definisi berikut :
Definisi :
Nilai kebenaran p∨q ( baca: p disjungsi q) adalah salah jika nilai kebenaran p dan
q masing-masing salah, jika dinyatakan lain maka bernilai benar.
c. Implikasi
Simbol → dibacajika ... maka ... (p→q dibaca jika p maka q atau q jika p atau
p syaratperlu untuk qatauq syarat cukup bagi q). Untuk menentukan nilai
kebenarannya digunakan kaidah kiri salah pasti benar kanan benar pasti
benar.
Definisi :
Nilai kebenaran p→q ( baca: p implikasi q) adalah salah jika nilai kebenaran p adalah benar dan nilai kebenaran q adalah salah, jika dinyatakan lain maka bernilai benar.
d. Biimplikasi
Simbol ↔ dibaca ... jika dan hanya jika ... (jhj) (p ↔ q dibaca p jika dan
hanya jika q atau p syarat perlu dan syarat cukup untuk q). Untuk
kebenarannya digunakan kaidah tanda sama pasti benar.
Definisi :
Nilai kebenaran p ↔ q ( baca: p biimplikasi q) adalah benar jika nilai kebenaran p dan q adalah sama, sama-sama benar atau sama-sama salah, jika dinyatakan lain maka bernilai salah.
C. Tabel Kebenaran
D. Sifat ImplikasiBentuk implikasi p→ q dapat diubah dengan beberapa aturan, yaitu :
Invers : ~p → ~q
Ganti tanda
Konvers : q→ p
Ganti Posisi
Kontaposisi : ~q→~p
Ganti tanda dan ganti posisi
Contoh:
• Jika bakso gurih maka cendol manis
Konvers: jika bakso gurih maka cendol manis
Invers : jika bakso tidak gurih maka cendol tidak manis
Kontraposisi : jika cendol tidak manis maka bakso tidak gurih
• p → ~q
konvers : ~q → p
invers : ~ p → r
kontraposisi : q → ~p
• ( p ∨ ~ q) → ~r
Konvers : ~r → (p ∨ ~q)
Invers : (~p ∨ q) → r
Kontraposisi : r → (~p ∧ q)
E.Kesetaraan atau Ekuivalensi
Dua buah pernyataan majemuk dikatakan setara atau ekuivalen jika dan hanya jika kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Beberapa pernyataan majemuk mempunyai pernyataan majemuk lain yang setara,
diantaranya:
• p → q ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨ q
• ~ (p → q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)
• p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
• Dalil De Morgan:
~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~ ( p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
• Komutatif
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
• Asosiatif
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
• Distributif
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Contoh:
• Jika api panas maka es dingin, setara dengan
Jika es tidak dingin maka api tidak panas,
atau
Api tidak panasatau es dingin
• Tidak benar bahwa jika kopi pahit maka gula manis, setara dengan:
Kopi pahit dan gula tidak manis.
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 9
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
• x = 2 jika dan hanya jika 2x = 4, setara dengan
jika x = 2 jika dan hanya jika 2x = 4, setara dengan
jika x = 2 maka 2x = 4 dan jika 2x = 4 maka x= 2
• Tidak benar bahwa a ganjil dan 2a ganjil,setara dengan a tidak ganjil atau 2a tidak
ganjil
F. Pernyataan Berkuantor
Pengertian Kuantor
Kuantor adalah suatu kata yag letaknya didepan kalimat terbuka sedemikian sehingga kalimat terbuka tersebut menjadi kalimat tertutup.
Contoh: Bilangan prima adalah ganjil (kalimat terbuka)
Semua bilangan prima adalah ganjil (kalimat tertutup)
Beberapa bilangan prima adalah ganjil (kalimat tertutup)
Contoh :
1. X : siswa SMA
p(x) : x memakai seragam
Maka ∀ (x) p(x) dibaca :
Semua siswa SMA memakai seragam.
Negasinya : ∃(x)~p(x) dibaca :
Ada siswa SMA yang tidak memakai seragam
Atau
Tidak semua siswa memakai seragam.
H. Penarikan Kesimpulan
Berbicara logika matematika berarti juga berbicara tentang kebenaran. Suatu rangkaian pernyataan majemuk yang terdiri atas premis-premis dikatakan benar atau sah jika memenuhi aturan dalam penarikan kesimpulannya. Premis dapat berupa aksioma (pernyataan yang tidak terbantah kebenarannya). Hipotesis (dugaan sementara). Definisi
(pemberian nama dengan arti), atau pernyataan. Terdapat beberapa cara penarikan
kesimpulan untuk membuktikan keabsahan suatu argumen.
Contoh :
1. Diketahui premis-premis berikut :
Jika harga BBM naik, maka harga barang naik.
Ternyata harga BBM naik.
Kesimpulannya : harga barang naik.
