MATRIKS

A.    PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS

1.      PENGERTIAN BARIS, KOLOM DAN ELEMEN SUATU MATRIKS

Matriks yaitu himpunan bilangan-bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom berbentuk persegi panjang dan ditulis diantara tanda kurung ( ) atau [ ].

Nama matriks dengan menggunakan huruf besar. Elemen-elemen suatu matriks dengan huruf kecil sesuai nama matriks dengan indeks sesuai letak elemennya.

Contoh 1: Diketahui matriks A =

                 Tentukan :

a.       banyak baris                             d. elemen-elemen kolom ke-3                  

b.      banyak kolom                           e.

c.       elemen-elemen baris ke-2         f.

Jawab     : a.   banyak baris   …   buah

                 b.   banyak kolom …   buah

                 c.   celemen-elemen baris ke-2 : …

d.      elemen-elemen kolom ke-3 : …

e.        = elemen baris ke-3 kolom ke-2 = …

f.        = elemen baris ke-1 kolom ke-3 = …

Contoh 2: Diketahui

                 Tentukan letak elemen 2 dan 6 !

Jawab     : elemen 2 =

                 elemen 6 =

2.      ORDO MATRIKS

Yaitu banyaknya baris dan kolom yang menyatakan suatu matriks.

 artinya matriks A berordo m x n yaitu banyaknya baris m buah dan banyaknya kolom n buah.

Contoh 3: Diketahui

                 Tentukan ordo matriks P

Jawab     : Ordo matriks P =   … x …

3.      JENIS-JENIS MATRIKS

1. Matriks Nol

Yaitu matriks yang setiap elemennya nol.

Misal :

2. Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu baris

Misal :

3.      Matriks Kolom

Yaitu matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

Misal :

4.      Matriks Bujur sangkar

Yaitu suatu matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

Ordo matriks n x n sering disingkat dengan n saja.

Misal :

5.      Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.

Misal :

6.      Matriks Satuan (Identitas)

Yaitu matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, dan elemen lainnya nol.

Misal :

7.      Matriks Skalar

Yaitu matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya sama, tetapi bukan nol dan semua elemen lainnya nol.

Misal :

8.      Matriks Segitiga Atas

Yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

Misal :

9.      Matriks Segitiga Bawah

Yaitu matriks yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

Misal :

LATIHAN SOAL

1.      Diketahui

Tentukan :

a.       elemen-elemen baris ke-2

b.      elemen-elemen kolom ke-2

c.       elemen-elemen kolom ke-4

d.      elemen baris ke-1 kolom ke-3

e.       elemen baris ke-3 kolom ke-5

f.       ordo P

2.      Diketahui

Tentrukan :

a.       ordo X

b.      elemen-elemen baris ke-2

c.      

d.     

e.      

3.      Diketahui

Tentukan letak elemen :

a. –2          b. 5                  c. 6                  d. 3                  e. 0

4.      Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?

a.                    b.

c.            d.

5.      Berikan contoh lain dari matriks :

a.  skalar                                        b. segitiga bawah

c. segitiga atas                               d. diagonal

4.      KESAMAAN DUA MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika ordo dan elemen-elemen yang seletak sama.

Contoh 1: Mana matriks yang sama ?

                                                             

Jawab     : Matriks yang sama yaitu matriks …    dan …

Contoh 2: Tentukan x dan y dari

Jawab     :  x   = …

                 2y = …      y = …

5.      TRANSPOSE  MATRIKS

Transpose (putaran) matriks A yaitu matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukarkan elemen-elemen pada baris menjadi kolom dan sebaliknya elemen-elemen pada kolom menjadi baris.

Transpose matriks A dinyatakan dengan  atau A’.

Contoh 3: Jika  maka tentukan

Jawab     :  = …

LATIHAN SOAL

1.      Tentukan x dan y dari :

a.                           b.

c.                         d.

2.      Tentukan a, b, c dan d dari :

a.                        b.

c.                 d.

3.      Tentukan transposenya dari :

a.                                    b.

4. Tentukan c jika ,  dan

B.     OPERASI MATRIKS

1.      PENJUMLAHAN MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Yang dijumlahkan yaitu elemen-elemen yang seletak.

Contoh 1: Jika  dan  maka tentukan A + B

Jawab     : A + B = …

Contoh 2: Jika ,  dan , tentukan :

                 a. A + B                 b. B + A          c. A + (B + C)             d. (A + B) + C

Jawab     : a. A + B = …

              

                 b. B + A = …

                 c. A + (B + C) = …

                 d. (A + B) + C = …

Contoh 3: Diketahui ,   dan .

                 Tunjukkan : a. A + (-A) = (-A) + A = O

                                     b. A + O = O + A = A

Jawab     : a. A + (-A) = …

            

                     (-A) + A = …

                 b. A + O = …

                     O + A = …

       Sifat-sifat penjumlahan matriks :

1.      A + B = B + A  (bersifat komutatif)

2.      A + (B + C) = (A + B) + C (bersifat asosiatif)

3.      A + O = O + A = A (O matriks identitas dari penjumlahan)

4.      A + (-A) = (-A) + A = O (-A matriks invers penjumlahan)

2.      PENGURANGAN MATRIKS

Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Yang dikurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh 4: Jika  dan , maka tentukan :

                 a. A – B                  b. B – A

Jawab     : a. A – B = …

                 b. B – A = …

       Sifat-sifat Pengurangan matriks :

1.      A – B  B – A (tidak komutatif)

2.      A – (B – C) = (A – B) – C (asosiatif)

LATIHAN SOAL

1.      Sederhanakanlah !

a.                  b.           c.

d.                           e.

f.           g.

h.              i.

2.      Tentukan x jika

3.      Tentukan x jika

4.      Tentukan a, b, c dan d dari :

a.      

b.     

3.      PERKALIAN MATRIKS

3.1  PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL (SKALAR)

Hasil perkalian skalar k dengan sebuah matriks A yang berordo m x n adalah sebuah matriks yang berordo m x n dengan elemen-elemennya adalah hasil kali skalar k dengan setiap elemen matriks A.

Contoh 1: Jika  maka tentukan :

                 a. 2A                      b.

Jawab     : a. 2A = …

                 b.  = …

Contoh 2: Jika  dan  maka tentukan :

                 a. 2(A + B)             b. 2A + 2B                  c. 2(3A)           d. 6A

Jawab     : a. 2(A + B) = …

                 b. 2A + 2B = …

                 c. 2(3A) = …

                 d. 6A = …

Sifat-sifat perkalian skalar k dengan suatu matriks :

1.      k(A + B) = …

2.      (k + l)A = …

3.      k(lA) = …

LATIHAN SOAL

1.      Jika  dan , maka tentukan :

a. 2A + 2B                        b. 3A – 2B                  c.                 d. –4(A – B)