Sistem persamaan ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Dalam bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis yang sebidang, di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi peubah (variabel).
Persamaan linear dan kuadrat
Jika ditinjau dari penampilan peubahnya, persamaan dapat dibedakan menjadi persamaan linear dan persamaan tidak linear. Jika ditinjau dari banyak peubahnya, persamaan linear terbagi atas persamaan dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah.
Persamaan tidak linear terbagi atas persamaan polinomial dengan satu peubah, dua peubah, atau lebih dari dua peubah, serta persamaan pecah rasional yang pembilang dan penyebutnya berupa polinomial.
Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk :
Secara khusus, persamaan linear dengan satu peubah mempunyai bentuk
ax + b = 0, a ¹ 0
Jika semesta pembicaraannya adalah R (himpunan bilangan real), selesaian persamaan di atas dapat diperoleh dengan menambahkan lawan b, yaitu –b pada kedua ruasnya, kemudian kedua ruas pada hasilnya dikalikan dengan kebalikan a, yaitu 1/2.
Secara matematik proses penyelesaian tersebut dapat ditulis sebagai :
Contoh :
Carilah selesaian persamaan 2x + 8 = 10.
Penyelesaian :
2x + 8 = 10
2x = 10 – 8
2x = 2
x = 1.
Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0
Bilangan real t disebut akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, jika memenuhi at2 + bt + c = 0.
Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus abc.
Contoh :
Carilah akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 5 = 0.
Penyelesaian :
a. Cara pemfaktoran :
x2 – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0
Diperoleh x1 = 5 atau x2 = -1.
b. Cara melengkapkan kuadrat :
x2 – 4x – 5 = 0
x2 – 4x + 22 – 22 – 5 = 0
(x – 2)2 – 9 = 0
(x – 2)2 = 9
x – 2 = ± 3
x = 2 ± 3
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.
c. Dengan rumus abc, yaitu :
x2 – 4x – 5 = 0
a = 1, b = -4, dan c = -5
Diperoleh x1 = 2 + 3 = 5 atau x2 = 2 – 3 = -1.
Persamaan Derajat Tinggi
Pembicaraan persamaan polinomial dengan derajat lebih dari dua, dibatasi hanya pada derajat tiga, dengan penekanan pada dua rumus, yaitu:
x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2) dan
x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2).
Untuk pemfaktoran persamaan derajat tinggi dapat digunakan metode Horner.
Contoh :
Carilah bentuk pemfaktoran dari x3 – 8 dan 8x3 – 27
Penyelesaian :
x3 – 8 = x3 – (2)3 = (x – 2)(x2 + 2x +4)
8x3 – 27 = (2x)3 – (3)3 = (2x – 3)(4x2 + 6x +9)
1.2. Pertidaksamaan linear dan kuadrat
Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a. Ubahlah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan.
b. Carilah selesaian persamaan pada langkah a.
c. Berilah tanda dari nilai-nilainya.
Contoh :
1. Tentukan selesaian dari x2 – 3x + 2 > 0.
Penyelesaian :
x2 – 3x + 2 = 0 (langkah a)
(x – 1)(x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2 (langkah b)
Dalam garis bilangan
1. Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi x2 – 3x – 4 £ 0.
Penyelesaian :
x2 – 3x – 4 = 0
(x + 1)(x – 4) = 0
x = –1 atau x = 4
Dalam garis bilangan
Selesaiannya adalah –1 £ x £ 4.
Berikut ini disajikan definisi nilai mutlak yang diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak.
Untuk pertidaksamaan nilai mutlak, perlu diperhatikan hal-hal berikut
Contoh :
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi
Penyelesaian :
Menurut pengertian nilai mutlak diperoleh -4 < x +2 < 4 sehingga
selesaiannya adalah -6 < x < 2.
1.3. Penggunaan persamaan linear dan kuadrat
Contoh:
Tentukan banyaknya alkohol yang terdapat dalam 60 ml larutan alkohol berkadar 30%.
Penyelesaian:
Yang dimaksud dengan kadar alkohol adalah perbandingan antara volume alkohol murni dengan volume larutan seluruhnya. Jadi banyaknya alkohol yang terdapat dalam 60 ml larutan alkohol berkadar 30% adalah
Latihan 1.
1. Tentukan volume dan kadar alkohol yang diperoleh dari penambahan 50 ml air kedalam 150 ml alkohol berkadar 40%.
2. Tentukan banyaknya air yang harus ditambahkan pada 50 ml larutan alkohol berkadar 25% agar menjadi larutan alkohol berkadar 15%, dan tentukan pula volume larutan alkohol berkadar 15% yang dihasilkan.
3. Seorang mahasiswa diminta untuk membuat 100 ml larutan alkohol berkadar 15%. Jika larutan alkohol yang dimiliki berkadar 40%, maka tentukan banyaknya alkohol berkadar 40% yang harus digunakan, agar hanya diperoleh larutan alkohol yang dibutuhkan saja.
4. Dengan menggunakan pemfaktoran tentukan akar dari persamaan:
- x2 – 3x + 2 = 0
- x2 + 3x – 4 = 0
- 2x2 – 3x – 5 = 0
5. Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar dari persamaan:
- x2 – 4x – 12 = 0
- x2 – 3x – 4 = 0
- 2x2 + 3x – 5 = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar