BILANGAN BULAT

Pengertian Bilangan Bulat

Coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, .... Jika bilangan cacah tersebut digambarkan pada suatu garis bilangan, apa yang kalian peroleh?

Seseorang berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak - petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik 0.

Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Jika ia maju 4 langkah ke depan, ia berdiri di angka +4. Selanjutnya, jika ia mundur 2 langkah ke belakang, ia berdiri di angka +2. Lalu ia mundur lagi 3 langkah ke belakang. Berdiri di angka berapakah ia sekarang? Di angka berapa pulakah ia berdiri, jika ia mundur lagi 1 langkah ke belakang?
Perhatikan bahwa posisi 4 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +4. Demikian pula posisi 2 langkah ke depan dinyatakan dengan +2. Oleh karena itu, posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –4. Adapun posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan –2.

Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Tanda + pada bilangan bulat biasanya tidak ditulis. Kumpulan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan dinotasikan dengan B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {..., –3, –2, –1}, nol {0}, dan himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, ...}.

Penggunaan Bilangan Bulat Dalam Kehidupan Sehari - Hari

Perhatikan Gambar 1.2. Kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi penyelamatan. Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui tingkat kedalaman laut. Jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan laut dinyatakan dengan bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis –10 m.

Letak Bilangan Bulat Pada Garis Bilangan

Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.

Pada garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, ... disebut bilangan bulat negatif.
Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Menyatakan Hubungan Antara Dua Bilangan Bulat

Perhatikan garis bilangan di atas.
Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan, makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p, q bilangan bulat berlaku :

• jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q;
• jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q.
  

Contoh :

Pada suatu garis bilangan, bilangan –3 terletak di sebelah kiri bilangan 2 sehingga ditulis –3 < 2 atau 2 > –3. Adapun bilangan –3 terletak di sebelah kanan –5 sehingga ditulis –3 > –5 atau –5 < –3. Jika kedua kalimat di atas digabungkan maka diperoleh –5 < –3 < 2 atau 2 > –3 > –5.

Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat

Penjumlahan Pada Bilangan Bulat

Penjumlahan Dengan Alat Bantu

Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

Contoh :

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan.
6 + (–8)
Penyelesaian :

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah - langkahnya sebagai berikut.

• Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.
• Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.
• Hasilnya, 6 + (–8) = –2.
  

(–3) + (–4)

Penyelesaian :

Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah - langkahnya sebagai berikut.

• Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
• Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.
• Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.
  

Penjumlahan Tanpa Alat Bantu

Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan - bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh :

• 125 + 234 = 359
• –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130
  

Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

Contoh :

• 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15
• (–63) + 125 = 125 – 63 = 62
  

Sifat - Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

Sifat Tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

Contoh :

• –16 + 25 = 9. –16 dan 25 merupakan bilangan bulat. 9 juga merupakan bilangan bulat.
  
• 24 + (–8) = 16. 24 dan –8 merupakan bilangan bulat. 16 juga merupakan bilangan bulat.
  

Sifat Komutatif

Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

Contoh :

• 6 + 5 = 5 + 6 = 11
• (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3
• 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4
• (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20
  

Mempunyai Unsur Identitas

Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh :

• (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6 = 5. 4 + ((–5) + 6) = 4 + 1 = 5. Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).
• (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10 = –2. –3 + ((–9) + 10) = –3 + 1 = –2. Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).
  

Mempunyai Invers

Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)).

Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a.

Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0.

Pengurangan Pada Bilangan Bulat

Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.

Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.

• 4 – 3
  

• 4 + (–3)
  

• –5 – (–2)
  

• –5 + 2
  

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

4 – 3 = 4 + (–3) = 1
–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.

Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a – b = a + (–b).

Contoh :

• 7 – 9 = 7 + (–9) = –2
  

• –8 – 6 = –8 + (–6) = –14
  

• 15 – (–5) = 15 + 5 = 20
  

• –12 – (–6) = –12 + 6 = –6
  

Pada contoh di atas dapat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

Pengurangan dengan alat bantu

Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

4 – 7

Penyelesaian :

Untuk menghitung 4 – 7, langkah - langkahnya sebagai berikut.

• Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.
• Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
• Hasilnya, 4 – 7 = –3.
  

–3 – (–5)

Penyelesaian :

Langkah - langkah untuk menghitung –3 – (–5) sebagai berikut.

• Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.
• Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.
• Hasilnya, –3 – (–5) = 2.
  

Perkalian Pada Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.

• 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
• 5 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
  

Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 x 5 dan 5 x 4 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka n x a = a + a + a + .... n + a

Menghitung Hasil Perkalian Bilangan Bulat

Perhatikan uraian berikut.

2 x 4 = 4 + 4 = 8
2 x 3 = 3 + 3 = 6
2 x 2 = 2 + 2 = 4
2 x 1 = 1 + 1 = 2
2 x 0 = 0 + 0 = 0
–2 x 4 = – (2 x 4) = – (4 + 4) = –8
–2 x 3 = – (2 x 3) = – (3 + 3) = –6
–2 x 2 = – (2 x 2) = – (2 + 2) = –4
–2 x 1 = – (2 x 1) = – (1 + 1) = –2
–2 x 0 = – (2 x 0) = – (0 + 0) = 0
2 x (–2) = (–2) + (–2) = –4
2 x (–1) = (–1) + (–1) = –2
(–2) x (–3) = – (2 x (–3)) = – ((–3) + (–3)) = 6
(–2) x (–2) = – (2 x (–2)) = – ((–2) + (–2)) = 4
(–2) x (–1) = – (2 x (–1)) = – ((–1) + (–1)) = 2

Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat - sifat berikut.

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka,

• p x q = pq;
• (–p) x q = –(p x q) = –pq;
• p x (–q) = –(p x q) = –pq;
• (–p) x (–q) = p x q = pq.
  

Sifat - Sifat Perkalian Pada Bilangan Bulat

Sifat Tertutup

Untuk mengetahui sifat tertutup pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

• 3 x 8 = ....
  
• (–3) x 8 = ....
  
• 3 x (–8) = ....
  
• (–3) x (–8) = ....
  

Apakah hasil perkalian bilangan di atas juga merupakan bilangan bulat? Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = r dengan r juga bilangan bulat.

Sifat Komutatif

Untuk mengetahui sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

• 2 x (–5) = ....
• (–5) x 2 = ....
  
• (–3) x (–4) = ....
  
• (–4) x (–3) = ....
  

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = q x p.

Sifat Asosiatif

Untuk mengetahui sifat asosiatif pada perkalian bilangan bulat, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

• 3 x (–2 x 4) = ....
• (3 x (–2)) x 4 = ....
  
• (–2 x 6) x 4 = ....
  
• –2 x (6 x 4) = ....
  

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku (p x q) x r = p x (q x r).

Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

• 2 x (4 + (–3)) = ....
• (2 x 4) + (2 x (–3)) = ....
  
• (–3) x (–8 + 5) = ....
• ((–3) x (–8)) + (–3 x 5) = ....
  

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q + r) = (p x q) + (p x r).

Sifat Distributif Perkalian Terhadap Pengurangan

Untuk mengetahui sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, salin dan tentukan hasil perkalian berikut.

• 5 x (8 – (–3)) = ....
• (5 x 8) – (5 x (–3)) = ....
  
• 6 x (–7 – 4) = ....
  
• (6 x (–7)) – (6 x 4) = ....

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.

Untuk setiap bilangan bulat p, q, dan r selalu berlaku p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

Memiliki Elemen Identitas

Untuk mengetahui elemen identitas pada perkalian, tulis dan tentukan hasil perkalian berikut.

• 3 x 1 = ....
• 1 x 3 = ....
  
• (–4) x 1 = ....
  
• 1 x (–4) = ....

Apa yang dapat kalian simpulkan dari perkalian pasangan bilangan bulat di atas? Jika kalian mengerjakan dengan benar, kalian akan memperoleh sifat berikut.
Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p. Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

Pembagian Bilangan Bulat

Pembagian Sebagai Operasi Kebalikan dari Perkalian

Perhatikan uraian berikut.

• 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis 3 x 4 = 12 ⇔ 12 : 3 = 4.

• 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis 4 x 3 = 12 ⇔ 12 : 4 = 3.

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.

Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q = 0 maka berlaku p : q = r ⇔ p = q x r.

Menghitung Hasil Pembagian Bilangan Bulat

Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q = 0 dan memenuhi p : q = r berlaku

• jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;
• jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.
  

Pembagian Dengan Bilangan Nol

Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku a x 0 = 0 ⇔ 0 : a = 0. Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a = 0.

Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat

Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?

Perhatikan bahwa,

15 : 3 = 5
  8 : 2 = 4
  2 : 2 = 1

Sekarang, berapakah nilai dari 4 : 3? Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan bulat? Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Sekarang perhatikan bahwa 8 : 2 = 4. Apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8? Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komutatif. Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6) : 2 = 1 tetapi 12 : (6 : 2) = 4. Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.

Menaksir Hasil Perkalian Dan Pembagian Bilangan Bulat

Pernahkah kamu berbelanja ke supermarket? Jika pernah, apakah jumlah harga belanja kamu selalu bulat?
Misalkan, kamu berbelanja barang - barang seharga Rp18.280,00. Jika kamu memberikan uang Rp20.000,00 kepada kasir, berapa uang kembalian yang kamu terima?

Hasil pembulatan atau taksiran diperoleh dengan cara berikut.

• Untuk pembulatan ke angka puluhan terdekat.

1. Jika angka satuannya kurang dari 5, angka tersebut tidak dihitung atau dihilangkan.
2. Jika angka satuannya lebih dari atau sama dengan 5, angka tersebut dibulatkan ke atas menjadi puluhan.

• Untuk pembulatan ke angka ratusan terdekat

1. Jika angka puluhannya kurang dari 5, angka puluhan dan satuan dihilangkan.
2. Jika angka puluhannya lebih dari atau sama dengan 5, angka puluhan tersebut dibulatkan ke atas menjadi ratusan.
   

Aturan pembulatan tersebut juga berlaku untuk pembulatan ke angka ribuan terdekat, puluh ribuan terdekat, dan seterusnya.

Contoh :

Tentukan taksiran pada hasil perhitungan berikut ke angka puluhan terdekat.

1. 37 x 19
2. 118 : 24
3. 2.463 : 31

Penyelesaian:

1. 37 x 19 ≈ 40 x 20 = 800
2. 118 : 24 ≈ 120 : 20 = 6
3. 2.463 : 31 ≈ 2.460 : 30 = 82
   

Tentukan taksiran pada hasil perhitungan berikut ke angka ratusan terdekat.

1. 225 x 133
2. 392 x 1.174
3. 2.548 : 481

Penyelesaian:

1. 225 x 133 ≈ 200 x 100 = 20.000
2. 392 x 1.174 ≈ 400 x 1.200 = 480.000
3. 2.548 : 481 ≈ 2.500 : 500 = 5
   

Di bagian depan kalian telah mempelajari perkalian pada bilangan bulat. Hal ini sangat bermanfaat dalam menentukan kelipatan dan faktor dari suatu bilangan. Kelipatan dan faktor suatu bilangan digunakan untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan. Adapun Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari suatu bilangan akan bermanfaat dalam mempelajari materi pada bab selanjutnya. Untuk itu, perhatikan dan pelajari dengan baik uraian materi berikut.

Kelipatan dan Faktor

Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

Di tingkat sekolah dasar, kalian telah mengetahui mengenai kelipatan suatu bilangan. Sekarang, kalian akan mengulang dan memperdalam materi tersebut. Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.

Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.
1 x 3 = 3
2 x 3 = 6
3 x 3 = 9
4 x 3 = 12

Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...

Contoh :

• Tentukan semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30;
• Tentukan semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30;
• Tentukan semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5.
  

Penyelesaian:

• Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 sebagaiberikut.
  1 x 2 = 2     6 x 2 = 12     11 x 2 = 22
  2 x 2 = 4     7 x 2 = 14     12 x 2 = 24
  3 x 2 = 6     8 x 2 = 16     13 x 2 = 26
  4 x 2 = 8     9 x 2 = 18     14 x 2 = 28
  5 x 2 = 10  10 x 2 = 20
  Semua bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 30 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
  
• Semua bilangan kelipatan 5 yang kurang dari 30 adalah 5, 10, 15, 20, 25.
  
• Semua bilangan asli yang kurang dari 30 dan merupakan kelipatan 2 dan 5 adalah 10, 20. Bilangan 10 dan 20 tersebut selanjutnya disebut kelipatan persekutuan dari 2 dan 5 yang kurang dari 30.
  

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...
Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...
Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q
Contoh :

Tentukan KPK dari 2, 3, dan 4.

Penyelesaian:

Bilangan asli kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ....
Bilangan asli kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....
Bilangan asli kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....
Kelipatan persekutuan dari 2, 3, dan 4 adalah 12, 24, ....
Jadi, KPK dari 2, 3, dan 4 adalah 12.

Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Perhatikan perkalian bilangan berikut.

1 x 8 = 8
2 x 4 = 8

Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.

Sekarang perhatikan perkalian berikut.

1 x 2 = 2
1 x 3 = 3
1 x 5 = 5
1 x 7 = 7

Bilangan - bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing - masing hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan - bilangan seperti ini disebut bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k.

Contoh :

Tentukan semua faktor dari 25.

Penyelesaian:
1 x 25 = 25
5 x 5 = 25
Semua faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

Tentukan semua faktor dari 30.

Penyelesaian:

1 x 30 = 30; 2 x 15 = 30; 3 x 10 = 30; 5 x 6 = 30

Karena 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 habis membagi 30 dan tidak ada bilangan lain yang habis membagi 30 maka semua faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

Tentukan semua faktor prima dari 45.

Penyelesaian:

Ingat kembali cara menentukan faktor prima suatu bilangan dengan pohon faktor.

45 = 3 x 15, 15 = 3 x 5

Jadi, semua faktor prima dari 45 adalah 3 dan 5.

Dari contoh a dan b di atas diperoleh bahwa

• faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25;
• faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30.

Tampak bahwa 1 dan 5 merupakan faktor dari 25 dan 30. Selanjutnya, 1 dan 5 disebut faktor persekutuan dari 25 dan 30. Karena 5 merupakan faktor terbesar, maka 5 disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 25 dan 30. Dapatkah kamu menentukan FPB dari 25, 30, dan 45?

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut.

Menentukan KPK dan FPB dari Dua Bilangan atau Lebih dengan Memfaktorkan

Di depan kalian telah mengetahui cara menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih dengan mencari kelipatan dan faktor dari masing-masing bilangan. Selain dengan cara tersebut, kita dapat menentukan KPK dan FPB dari dua bilangan atau lebih dengan terlebih dahulu menentukan faktorisasi prima masingmasing bilangan itu.

Perkalian semua faktor - faktor prima dari suatu bilangan disebut faktorisasi prima.

Contoh :

Tentukan KPK dan FPB dari 36 dan 40 dengan cara memfaktorkan.

Penyelesaian:

36 = 2² x 3²
40 = 2³ x 5

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, seperti 2² dan 2³, pilih pangkat yang tertinggi yaitu 2³. Jadi, KPK dari 36 dan 40 = 2³ x 3² x 5 = 360.

Adapun Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 36 dan 40 diperoleh dengan mengalikan faktor dengan bilangan pokok yang sama, dengan pangkat terendah. Jadi, FPB dari 36 dan 40 = 2² = 4.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

• Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor. Jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.
• Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) diperoleh dengan cara mengalikan faktor yang sama dengan pangkat terendah.
  

Perpangkatan dan Bilangan Bulat

Pengertian Perpangkatan Bilangan

Coba kalian ingat kembali materi di sekolah dasar tentang pengertian kuadrat suatu bilangan. Kuadrat atau pangkat dua suatu bilangan adalah mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Lebih lanjut, perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama.
Perhatikan perpangkatan bilangan pokok 2 berikut.

2¹ = 2
2² = 2 x 2 (2² dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2) = 4
2³ = 2 x 2 x 2 (2³ dibaca 2 pangkat 3) = 8
....
2ⁿ = 2 x 2 x 2 x .... x n kali (2ⁿ dibaca 2 pangkat n)

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut. Untuk sebarang bilangan bulat p dan bilangan bulat positif n, berlaku pⁿ = p x p x p x .... x n (sebanyak n faktor)

dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p = 0 maka p⁰ = 1 dan p¹ = p. Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan membahas perpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif.

Catatan
Nanti di kelas IX, kalian akan mempelajari lebih jauh tentang perpangkatan bilangan bulat dengan pangkat positif, negatif, dan nol.

Contoh :

Tentukan hasil perpangkatan bilangan - bilangan berikut ini.

1. 9²
2. (–6)³
   
3. –5⁴
   
4. (–10)⁴

Penyelesaian:

1. 9² = 9 x 9 = 81
2. (–6)³ = (–6) x (–6) x (–6) = 36 x (–6) = –216
   
3. –5⁴ = – (5 x 5 x 5 x 5) = –625
4. (–10)⁴ = (–10) x (–10) x (–10) x (–10) = 10.000
   

Sifat - Sifat Bilangan Berpangkat

Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Perhatikan perkalian bilangan bulat berpangkat berikut.

3² x 3³ = (3 x 3) x (3 x 3 x 3) = (3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 3⁵
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka

p^m x pⁿ = (p x p x ... x p) x (p x p x ... x p) = (p x p x ... x p x p x p x ... x p) = p^{m + n}
p^m x pⁿ = p^{m + n}